Author: User
Last saved by: Λάμπρος καρακώστας

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ  
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ∆ΙΚΕΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ 1^o
Α. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα ∆. Αν η f είναι συνεχής στο ∆ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆ ισχύει, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα ∆. 
Μονάδες 10 
Β. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της; 
Μονάδες 5 
 
Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.  
α. Αν z_1, z_2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει
                    
                                                Μονάδες 2 
 β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x_0∈A, όταν f(x)≥f(x_0) για κάθε x∈A 
Μονάδες 2 
γ.  
Μονάδες 2 
δ. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. 
Μονάδες 2 
ε. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και ισχύει  f(x)<0  για κάθε x∈[α, β], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες x=α, x=β και τον άξονα   
 
Μονάδες 2 
 ΘΕΜΑ 2^ο
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς 
z=(2λ+1)+(2λ−1)i ,        λ∈R 
Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ∈R 
Μονάδες 9 
   β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός  έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο. 
Μονάδες 8 
Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση 
 όπου  ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα. 
 Μονάδες 8 
 ΘΕΜΑ 3^ο
∆ίνεται η συνάρτηση  
 
 Όπου α>0 και 
A. Αν ισχύει  για κάθε  x>-1 να αποδείξετε ότι α=e 
Μονάδες 8 
Β. Για α=e, 
α. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή.  
Μονάδες 5 
β. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα   και γνησίως αύξουσα στο διάστημα  
Μονάδες 6 
γ. αν β, γ ∈, να αποδείξετε ότι η εξίσωση  
 
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1, 2) 
Μονάδες 6 

ΘΕΜΑ 4^ο 
Έστω f μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [0, 2] για την οποία ισχύει  
 
Ορίζουμε τις συναρτήσεις  
 
 α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι συνεχής στο διάστημα [0, 2]. 
Μονάδες 5 
β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (0, 2) και ότι ισχύει 
 
Μονάδες 6 
γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός α∈(0, 2) τέτοιος ώστε να ισχύει Η(α)=0. 
Μονάδες 7 
δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ∈(0, α) τέτοιος ώστε να ισχύει

                                            Μονάδες 7